浅尝辄止 - Dilettante258 | 强化学习基础-动态规划算法

动态规划（dynamic programming）能够高效解决一些经典问题，例如背包问题和最短路径规划。动态规划的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到目标问题的解。动态规划会保存已解决的子问题的答案，在求解目标问题的过程中，需要这些子问题答案时就可以直接利用，避免重复计算。

最优价值函数

对状态s来说的最优价值函数是所有策略可获得的最大可能折扣奖励的和

$V^{*}(s)=\max _{\pi} V^{\pi}(s)$

最优价值函数的Bellman等式

$V^{*}(s)=R(s)+\max _{a \in A} \gamma \sum_{s^{\prime} \in S} P_{s a}\left(s^{\prime}\right) V^{*}\left(s^{\prime}\right)$

最优策略

$\pi^{*}(s)=\arg \max _{a \in A} \sum_{s^{\prime} \in S} P_{s a}\left(s^{\prime}\right) V^{*}\left(s^{\prime}\right)$

对状态s和策略π

$V^{*}(s)=V^{\pi^{*}}(\mathrm{~s}) \geq V^{\pi}(s)$

而价值函数和策略相关

\begin{aligned}V^{\pi}(s)&=R(s)+\gamma\sum_{s'\in S}P_{s\pi(s)}(s')V^{\pi}(s')\\\pi(s)&=\arg\max_{a\in A}\sum_{s'\in S}P_{sa}(s')V^{\pi}(s')\end{aligned}

可以对最优价值函数和最优策略执行迭代更新（基于动态规划的强化学习算法），有两种方式：

策略迭代（policy iteration）
价值迭代（value iteration）

其中，策略迭代由两部分组成：

策略评估（policy evaluation）：使用贝尔曼期望方程来得到一个策略的状态价值函数，这是一个动态规划的过程
策略提升（policy improvement）：直接使用贝尔曼最优方程来进行动态规划，得到最终的最优状态价值

动态规划算法要求事先知道环境的状态转移函数和奖励函数，也就是需要知道整个马尔可夫决策过程。在这样一个白盒环境中，不需要通过智能体和环境的大量交互来学习，可以直接用动态规划求解状态价值函数。通常也只适用于有限马尔可夫决策过程，即状态空间和动作空间是离散且有限的。

价值迭代

价值迭代是一种直接寻找最优值函数的方法，而不需要明确的策略。它将策略迭代的两个步骤合并成一个步骤。
价值迭代首先初始化值函数，然后迭代更新值函数，直到值函数收敛于最优值函数。在每个迭代步骤中，使用Bellman最优性方程直接计算出当前状态的最优值。
一旦值函数收敛，可以通过贪婪地选择每个状态下具有最高值的动作来获取最优策略。

形式化表示

对于一个动作空间和状态空间有限的MDP

|S|<\infty,|A|<\infty

对每个状态s,初始化V(s)=0
重复以下过程直到收敛{

对每个状态,更新

V(s)=R(s)+\max_{a\in A}\gamma\sum_{s^{\prime}\in S}P_{sa}(s^{\prime})V(s^{\prime})

} （更新V(s)直到收敛）

同步 vs. 异步价值迭代

同步价值迭代会储存两份价值函数的拷贝

对𝑆中的所有状态s

V_{new}(s)\leftarrow\max_{a\in A}\left(R(s)+\gamma\sum_{s^{\prime}\in S}P_{sa}(s^{\prime})V_{old}(s^{\prime})\right)

更新 $V_{old}(s)\leftarrow V_{new}(s)$

需要存放两份价值函数，需要的内存是两倍

异步价值迭代只储存一份价值函数

对𝑆中的所有状态s

V(s)\leftarrow\max_{a\in A}\left(R(s)+\gamma\sum_{s'\in S}P_{sa}(s')V(s')\right)

更新过程中将存在一些紊乱。

策略迭代

策略迭代是一种迭代方法，用于寻找最优策略。它交替执行两个步骤：策略评估和策略改进。
策略评估：在这一步中，给定一个策略，通过迭代更新值函数，直到值函数收敛于该策略下的值函数。通常使用Bellman方程来进行值函数的迭代更新。
策略改进：一旦值函数收敛，就可以根据值函数来改进策略。通常采用贪婪策略，选择在每个状态下具有最高值的动作作为新的策略。
策略迭代会一直交替执行这两个步骤，直到策略不再改变，这时就找到了最优策略。

形式化表示

对于一个动作空间和状态空间有限的MDP

|S|<\infty,|A|<\infty

策略迭代过程

随机初始化策略 𝜋
重复以下过程直到收敛{ a. 根据 𝜋 计算 $V := V^\pi$ b. 对每个状态，更新

\pi(s)=arg\max_{a\in A}\sum_{s^{\prime}\in S}P_{sa}(s^{\prime})V(s^{\prime})

} （通过价值函数得到最新的策略，V(s)是个辅助的作用）

a步更新价值函数更耗时间。

价值迭代 vs. 策略迭代

价值迭代是贪心更新法
策略迭代中，用Bellman等式更新价值函数代价很大，策略迭代交替执行策略评估和策略改进步骤，直到找到最优策略。
对于空间较小的MDP，策略迭代通常很快收敛
对于空间较大的MDP，价值选代更实用(效率更高)，价值迭代直接迭代更新值函数，然后通过贪婪策略从最优值函数中获得最优策略，通常收敛更快，但不会显式地找到最优策略。
如果没有状态转移循环，最好使用价值迭代

基于模型的强化学习

目前我们关注在给出一个已知MDP模型后：（也就是说，状态转移 $𝑃_{𝑠𝑎}(𝑠^^{\prime})$ 和奖励函数𝑅(𝑠)明确给定后）

计算最优价值函数
学习最优策略

在实际问题中，状态转移和奖励函数一般不是明确给出的.

比如，我们只看到了一些episodes

\begin{aligned}&\text{Episode1:}\quad s_0^{(1)}\xrightarrow{a_0^{(1)},R(s_0)^{(1)}}s_1^{(1)}\xrightarrow{a_1^{(1)},R(s_1)^{(1)}}s_2^{(1)}\xrightarrow{a_2^{(1)},R(s_2)^{(1)}}s_3^{(1)}\cdots s_r^{(1)}\\&\text{Episode2:}\quad s_0^{(2)}\xrightarrow{a_0^{(2)},R(s_0)^{(2)}}s_1^{(2)}\xrightarrow{a_1^{(2)},R(s_1)^{(2)}}s_2^{(2)}\xrightarrow{a_2^{(2)},R(s_2)^{(2)}}s_3^{(2)}\cdots s_r^{(2)}\end{aligned}

在强化学习中，episode（也称为轮次或回合）指的是agent在环境中进行一系列动作和观察的完整序列。它从起始状态开始，经过一系列动作和环境反馈，直到达到终止状态为止。在每个episode结束时，agent可以根据其在该episode中的表现进行学习和更新策略。每个episode可以看作是一次完整的训练过程，agent通过与环境的交互来提升自己的性能。

基于模型的强化学习的一个基本思路是说，先根据episodes先回去学习一个MDP模型，然后我再用MDP模型的这样一些动态规划算法把最优的策略和价值函数给学出来。

所以说，如果是要从经验当中去学习MDP模型的话，其实他就是学习状态转移的概率和 reward function奖励函数𝑅(𝑠)。

学习状态转移概率 $P_{sa}(s^^{\prime})$

P_{sa}(s^{\prime})=\frac{\text{在}s\text{下采取动作}a\text{并转移到s'的次数}}{\text{在}s\text{下采取动作}a\text{的次数}}

学习奖励函数𝑅(𝑠) ，也就是立即奖赏期望

算法

随机初始化策略𝜋
重复以下过程直到收敛 {

a) 在MDP中执行𝜋，收集经验数据

b) 使用MDP中的累积经验更新对𝑃𝑠𝑎和𝑅的估计

c) 利用对 $𝑃_{𝑠𝑎}$ 和𝑅的估计执行价值迭代，得到新的估计价值函数𝑉

d) 根据𝑉更新策略𝜋为贪心策略

}

以上是基于模型的强化学习。一个白盒环境给定的情况下，可用动态规划的方法（值迭代和策略迭代）求解最优策略。如果环境是黑盒的，可以根据统计信息来拟合出动态环境𝑃和𝑅，然后做动态规划求解最优策略。另一种解决方式是不学习MDP，从经验中直接学习价值函数和策略。详细见于下一节。

悬崖漫步环境（Cliff Walking）

悬崖漫步环境（Cliff Walking）是强化学习领域中一个经典的示例环境，用于教育和测试强化学习算法。它要求一个智能体从起点出发，避开悬崖行走，最终到达目标位置。

悬崖漫步环境的特点如下：

状态空间：悬崖漫步环境通常是一个网格世界，由多个状态组成，其中包括起始状态、目标状态和危险状态。通常，状态空间是一个矩形网格，其中包括多个行和列。
动作空间：代理可以采取的动作通常是上、下、左、右四个方向的移动。
奖励结构：环境中有一个悬崖区域，如果代理掉入悬崖，就会受到非常负面的奖励（通常是一个大的负数）。如果代理成功到达目标状态，则会受到正面的奖励。在其他情况下，代理的奖励通常为零。
目标：代理的目标是在尽量短的时间内从起始状态安全地到达目标状态，最大化累积奖励。

悬崖漫步环境的主要挑战在于，代理必须在探索新策略和避免掉入悬崖之间找到平衡。因为掉入悬崖的奖励惩罚非常大，所以代理需要谨慎地选择动作，以确保安全地绕过悬崖。

这个环境通常用于教育和测试强化学习算法，特别是在强调探索与利用之间的权衡时。代理需要在学习过程中尝试不同的策略，以找到最优的路径，同时要避免不必要的风险。悬崖漫步环境有助于说明强化学习算法如何处理安全性和效率之间的折衷，以及如何在具有危险状态的情况下制定最优策略。

Ref:

强化学习基础-动态规划算法

Dilettante258 Tuesday, October 10, 2023 | (()=>{var e=async t=>{await(await t())()};(self.Astro||(self.Astro={})).load=e;window.dispatchEvent(new Event("astro:load"));})();0 views

最优价值函数

价值迭代

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同步 vs. 异步价值迭代

策略迭代

形式化表示

价值迭代 vs. 策略迭代

基于模型的强化学习

算法

悬崖漫步环境（Cliff Walking）

Dilettante258 Tuesday, October 10, 2023 | 0 views